مذكرة: لماذا لا يستطيع اكثر رياضي اليوم فهم  آركيتاس  

               مضاعفة المكعب                                                                               

    بقلم د. جوناثان تينينباوم

"أما ما يخصني فإنني اعتز بالرياضيات لأنني ارى فيها أثر الفن كعامة, و يظهر لي كما إكتشفت, في النهاية, أن ديكارت بنفسه لم يخترق لغز هذا العلم العظيم. أتذكر  انه قال مرة , ان قمة دقة طريقته التي تظهر فقط عن طريق فيزيائه, يمكن اثباتها في هندسته. و لكن علي ان اقول , ان في هندسة ديكارت بالتحديد استطيع ان ارى مفهوم عدم الكمال لطريقته. و انني اقول ان هناك طريقةً تختلف تماماً للتحليل الهندسي تلك ,عن طريقة فييتا و ديكارت (اعني الجبر), و ان فييتا و ديكارت لن يذهبوا الى ما فيه الكفاية , لان اكثر المشاكل المهمة لا تعتمد اطلاقاً على المعادلات, و التالي يعتمد عليه ديكارت في هندسته"

(لايبنيتز, في رسالة له الى الاميرة اليزابيث, في أواخر 1678 )

مثالاً :الكاتينري (السلسلة المعلقة), التي تحتاج الى مادة فيزيائية لايجادها , غير من الممكن ان توجد في عالم ديكارت و اويلر و لاغرانج.

 النظر خلال المحاضرات مؤخراً عن هندسة آركيتاس لمضاعفة المكعب , يظهر لنا كم ان الرياضيات الحديثة قد سقطت تحت المستوى الذي كان في زمن افلاطون و جماعته من حوله قبل اكثر من 2300 عام. و مثال على ذلك مقالة ونقاش من تأليف (E. F. Robertson) و (J. J. O’Connor    ) . و لو ان هناك ان في تلك المقالة توجد اشارات و "مقالات"(ريفرينس) مهمة , لكن حين ما يأتي المؤلف الى التكوين الهندسي , مع الاسف ينقلب ذلك الى امر اكاديمي , و يُستعمل هنا النظام "الكورديناتي" للتأكد من صحة عمل آركايتاس.

لفرض النظام الكورديناتي, يكتب  المؤلفان معادلات جبرية مع (x,y,z ) لكلٍ من الصطوح المتداخلة الثلاثة (كون , سيلندر, و توروس) , و يقارنرون المعادلات لكي تظهر العلاقات المرغوبة بتقارب بطريقة او اخرى . "سحر! فالقراء المغفلون الذين سوف يشتركون في تلك العملية عديمة المعنى و الجدوى , سوف يخرجون من تلك التجربة ليس فقط بتعلم اقل من لا شيئ عن اكتشاف آركايتاس؛ و لكن اسوء من ذلك , فالعملية العقلانية قد اقفلت بالكامل.

الطريقة التقاربية المعقدة و المدهشة لآركيتاس, حينما ينظر اليها من منظور يوناني قديم ترينا ان المنظور الحديث عقيم , و غير ذلك فإن المفهوم الفيزيائي الموجود كقاعدة قد دفن تماماً. في الحقيقة فإن اكثر الوثائق الاصلية للعلوم اليونانية قد فقدت او دمرت, حينما التواصل الحي للعلم اليوناني قد قطع خلال "عصر الظلام" الذي فُرض من قبل الروم. و كنتيجة لذلك , فإن نسخة اقليدس لكتابه الشهير" العناصر" التي بقيت -- (و هذا كتاب الذي لديه (axiomatic-deductive mode of presentation  ) يدفن اهم اهم الافكار و العمليات التاريخية في تطور العلم اليوناني ) جُعل منه المصدر الاول للهندسة اليونانية , و المثال لتعليم الرياضيات الاساسية لقرون عدة . و ايضاً فإن كتاب العناصر لايقليدس ظلل على الترتيب الطبيعي للتطور الهندسة, حتى في مجال الهندسة المرئية , ببدايته بهندسة السطح, و من ذلك باطبع الى مفهوم النقطة و الخط المستقيم , كوحدات اساسية لا تتفكك , و كذلك يستمر الى آخر القسم الاخير من كتابه حيث يكون ما يسمى بهندسة الاجسام الصلبة.

لكن في اساسيات الهندسة المرئية لا يوجد هناك هندسة السطح المسطحة على الاطلاق , لكن ما يسما بالهندسة الكروية. و هذه هي الهندسة المستخدمة في علوم الفلك , اقدم علم للانسان.

هذه و اوضاع مماثلة , تشرح لماذا ان اعظم المفكرين , من النهضة الاوروبية و مروراً بكيبلر و لايبنيتز, وجهوا اكثر جهودهم لاحياء الطريقة هذه و روح الرياضيات الكلاسيكية , التي كانت فقط من الممكن قرائتها ما بين السطور في كتاب اقليديس و غيره من الذين بقت اشلاء من اعمالهم على قيد الحياة, و تشكل هنا حوارات افلاطون اهم عمل و مصدر بقي كحالة فريدة.

(الاجسام الصلبة الافلاطونية الخمس)  

من المهم في هذا السياق, في عصر النهضة, هو احياء مبدأ ال(isoperimetric principle)  , للهندسة المستديرة و الهندسة الكروية, و اهمية المجسمات الخمس الافلاطونية كما نراهم هنا. مثلاً الى حدٍ ما ,عن طريق ما فعلاه باجيولي و ليوناردو دا فينحي بالعلاقات الاللهية فقد قلبوا اقليدس على رأسه . لكن كيبلر ذهب ابعد من ذلك فطور اول تقارب الى هندسة فيزيائية حقيقية من منطلق الاثباتا المهمة عبر المجسمات الافلاطونية.و هذا ادى الى عمل فيرما و باسكال و لايبنيتز في عملهم مع مسألة ابولونيوس عن التقسيمات الكونيكية و ذلك في سياق تركيز مستمر على مفهوم التنظيم الاعلى مستوى او اسمى في المستوى , مجالات متعددة التواصل, ذلك كان وسط النقاشات بين معاوني افلاطون. لهذا فإن هناك خط مستقيم من آركيتاس و ابولونيوس الى اعمال غاوس و ريمان. لذلك و من هذا المنتلق اقترح على اولئك الذين يرغبون ان يطلعوا بعمق فإن التعليق التالي على تكوين آركيتاس لمضاعفة المكعب مفيد . ولو ان معالجتي للمشكلة تقنية بشكل او آخر , ولا تمثل اكتشاف آركيتاس, فإن ذلك سوف يساعدنا للحصول على الطريق الصحيح , و لتصليح بعض الضرر الذي قد تسببت به التفاسير الحديثة.

انني ابني على ان القارء له معرفة مع هندسة آركايتاس , و ذلك من محادثات مع بروس دايركتور و غيره  و من ضمنه مضاعفة المكعب, و مشكلة صنع وسطين ذات علاقة بين خطين.

مخروط                                              إسطوانة                                                 توروس

هندسة الحدث الفيزيائي

"لاحظ , اولاً, ان الوصول الى الحل عن طريق تقاطع التوروس و الكون و السليندر , يضع آركيتاس المشكلة في مجال ما يسمى بعمل مستدير و متعدد التواصل , و ذى متعدد الاصوات. لاحظ في التالي العمل الفعلي النحوي في كلام اوديموس عن اكتشاف آركايتاس :

خطان معطيان OA (=a) و b؛ من المطلوب تكويين وسطين ذاتا علاقة بين a و b . ارسم دائرة OBA و OA كقطر حيث ان OA هو الخط الاكبر و OB يكون كورد على الدائرة و منثم طول ذلك الخط و ليلتقي مع تانجنت يمر ب- Aو يلتقي OB في نقطة نسميها C . تخيل الان نصف سليندر يرتفع عمودياً قائمياً على النصف دائرة OBA)  و حول OA ترتفع نصف دائرة قائمة على قاعدة للسيلندر .لما تحرك تلك النصف دائرة من AالىB و النقطة الاقصى O تبقى , ذلك سوف يقطع صطح  السيلندر في تحركه و يترك وراءه أثر Curve منحني .( الحركة الاخيرة تترك ورائه خلق توروس) . ثم اذا بقي OA ثابت و اذا المثلث OCA يستدار حول OA بحركة عكس تلك للنصف دائرة , فسوف تكون صطح كونيكي عن طريق الخط OC ,الذي خلال حركته سوف يلتقي الصطح الذي الاثر الذي رسم على السيلندر في نقطة

معينة P ....."    

علاقات هارمونية  و العمل المستدير

الدوران المستدير يوفر ابسط حالة لصنع علاقات هارمونية بين الخطوط , و ذلك كنتيجة إنعكاس عملية من ذات مستوى اعلى.

كون دائرة مع القطر OA, و هناك نقطة P تتحرك على مدار الدائرة بين و   O وA, و ذلك ويظهر علاقات هارونية عديدة بالطريقة التالية.

حينما نوصل النقطة P مع النقاط O و A ينتج ذلك مثلث OPA , و يتغير شكل ذلك المثلث مع تغيير النقطة P و مكن المثلث يحافظ على زاوية قائمة في النقطة P, و الان اذا رمينا ظل النقطة P على القطر للدائرة OA ظل قائم الزاوية, و نسمي تلك النقطة  Q  فمن الواضح ان المثلث OPQ  أيضاً ذات زاوية قائمة في  Q و ان انه يتقاسم الزاوية  O مع المثلث الاصليOPA .ان المثلثين دائماً متماثلين خلال اي موقع للنقطة (P) و النسبة لذلك اي للاضلاع سوف تكون نفسها بالاخص (OQ:OP =OP :OA) . و ذلك يجعلنا نقول ان الخط (OP)هو الوسط الهندسي بين (OQ) و (OA) .عبر تغيير التركيبات و تغيير النسبة بين (OQ)و (OA) يمكننا عبر استخدام الدائرة تكوين اي وسط هندسي لاي طولين يعطى (OQ) و(OA).

ار مي ظل (Q) على قوس الدائرة و سوف تحصل على (P).

شكل 1 من لصفحة الالمانية                                        شكل2 من الصفحة الالمانية

                                                                                شكل1ب                                                                                                             شكل2ب

شكل3ب شكل4

الوسط الهندسي ايضاً معروف في اليونان القديمة  كوسط بين حالتين متطرفتين. مضاعفة المربع تحتاج الى تكوين وسط مثل ذلك بين  1 و 2 لمضاعفة المكعب فإننا نحتاج الى وسطين بين 1 و 2,او للقول بطريقة اخرى يجب ان يكون هناك سلسلة من العلاقات متزامنة مع بعضها البعض من (OB: OQ=OQ:OP =OP :OA)* حيث ان (OB)=1 و (OA)=2

الان عندما يكون يكون التركيب الذي ذكرناه اعلاه يكون نصف العلاقات المطلوبة اي(OQ:OP =OP :OA) فإن الاستراتيجية التالية فوراً تفرض نفسها:

أدخل درجة اخرى من العملية المستديرة لخلق النصف الآخر للعلاقة المضاعفة و هي (OB: OQ=OQ:OP) .

ما نحتاجه هو ان نشرك العملين المستديرين مع بعض لتكويين حدث حيث ان الحالتين يمكن ان نخلقها في الوقت نفسه و ذلك سوف يعطينا الوسطان المطلوبان(OB: OQ=OQ:OP) و في الوقت نفسه (OQ:OP =OP :OA).

العمل بهذه الاستراتيجية سوف يقودنا الى هندسة وسطان و لو ان ذلك العمل قابل للنقد فسوف اقدم هذا التلخيص لان ذلك يرمي بالاتجاه نحو عمل متعدد التواصل.

محواولة بدائية

A Preliminary Thrust

في الحقيقة للحصول على العلاقة (OB: OQ=OQ:OP) بالطريقة المقترحة ,نحتاج الى تكوين دائرة ثانية حيث يكون قطرها (OP) حيث ان اولاً (الشرط 1): النقطة (Q) (ظل النقطة (P) على القطر في الدائرة الاولية ) تقع ايضاً على الدائرة الثانية , و ثانياً الشرط2: (Q) ترمي ظلها بزاوية قائمة على الخط (OP) لتتكون نقطة جديدة (B) حيث انه يجب ان يكون الخط (OB) =1.

اذا جربنا هندسياً (اعني ان القارئ يحاول بنفسه عمل المذكور بالادوات الهندسية.) هذا يعني ان( الشرط 1) سوف يكون مملي لكل المحطات للنقطة (P) على الدائرة الاولى و( الشرط 2) سوف يكون مملي في فقط نقطة واحدة للنقطة (P) ,و ايضاً الصورة المعاكسة لها.كيف بإمكاننا هندسة ذلك (ما يسمى) الوكوس كحدث مركب هندسياً.

 ذلك مبدأياً سهل ! تخيل لاي وضعية ل(P) حيث ان (P) تتحرك في مدار الدائرة ان هناك دائرة مماثلة مكونة حول (OP) كقطرٍ لها. هذه العملية سوف تكون سلسة من الدوائر الموتواصلة و ان قطرها (OP) يتغير و الزاوية ايضاً خلال تحرك (P) في مدار الدائرة. الان ضع ماركة على كل قطر (OP), و اكتب (B’) , حيث ان (OB’) لديه الطول =1, و دع (Q’)  تكون النقطة على مدار تلك الدائرة حيث ان (Q’) تكون ظلها (B’) من حافة الدائرة الى القطر(OP) .

من ضمن خيارين او اكثر اختر (Q’) التي توجد داخل الدائرة الاصلية /الاولية . النقطة (Q’) سوف تكون (Curve) داخل الدائرة الاولية . فإذا نظرنا الى محطات مختلفة للنقطة (P) , فسوف نرى بسهولة ان ال(Curve) لديه نقاط مواقع على كلا طرفين القطر (OA) للدائرة الاولية, و لذلك فإنه حتماً ان ال(Curve) سوف يقاطع القطر في نقطةٍ ما.

الطقاطع الذي سوف يوجد هو الحدث المطلوب ! ففي تلك الحظة , النقطة(Q’)  و النقطة (Q)  سوف يجتمعون في نقطة واحدة و كلا الجزئين من العلاقة المقترحة سوف توجد في نفس الوقت.الخط (OQ) هو طول الضلع المطلوب للمكعب الذي هو ضعف المكعب ذات الحجم واحد.

الآن من الممكن , الاعتراض على تلك الطريقة المقدمة هنا , لان السبب هو كيف سوف يرسم ذلك ال(Curve) الذي لديه اللوكوس في النقطة (Q’) . فاذا قلنا ضع علامة على كل واحدة من سلسلة الدوائر , ماركة (Q’), فإن ذلك غير كافٍ. فإذا فعلنا ذلك, أي نضع ماركة على كل الدوائر و النقاط فسوف لن نجد الا (Curve) غير متواصل مكون من سلسلة من النقاط , و سوف لن نصل الى (Curve) متواصل.

شكل3 من الصفحة الالمانية

شكل3 من الصفحة الالمانية

و لكن من الجهة الثانية فإنه من الممكن بمساعدة قليلاً من العبقرية ان نصمم آلية ميكانيكية , و ذلك نسبياً بسيط , لتتبع اثر ال(Curve) المطلوب, كنتيجة عن حركة (P) في مدار الدائرة الاصلية. فالنتيجة سوف تكون طريقة مماثلة للتكتيك الذي استعمله نيكوميديس الذي استعمل تكوين ميكانيكي لل(Curve) و سماه الكونكويد, لمضاعفة المكعب.

عودة الى آركيتاس

من هذا المنطلق فإننا سوف نقدر اكتشاف آركيتاس , الذي ذهب ابعد بكثير من ما صورناه في الطريقة , ما فوق,لإكتشاف تقارب أعلىمستوىً للمشكلة التي كانت سابقة و متوقعة لتأسيس المجال المعقد الذي وضعه غاوس في 1799 , بقبل مايقارب ألفين عام.

بتطبيق درجة جديدة من عملية مستديرة لتكوين توروس , فإن آركيتاس يأخذنا الى عالم جديد . بدلاً من ان نبني الحل من الجذر فما فوق مثل ما فعلنا قبل, فإننا بإمكاننا الإستمرار من فوق الى تحت .

التوروس المذكور يمكن الحصول عليه عن طريق إستدارة الدائرة الأولية الى الصطح العمودي (OA يكون ثابت) و تلك النتيجة تستدار عمودياًحول خط عمودي يمر بالنقطة (O). لكل نقطة () على التوروس فإن الشريحة من ذلك المجسم سوف يكون دائرة مع القطر (OA) و طوله سوف يكون 2 ؛إذا (Q ) تمثل ظل ( P) على القطر الأفقي لتلك الدائرة فإن , فإن العلاقات ((OQ:OP =OP :OA) سوف تبقى – كعلاقة غير متغيرة (للسطح ككامل) للتوروس.

الآن فإنه من السهل إدخال درجة جديدة من العملية المستديرة لصنع علاقة متناسقة إضافية .

شكل 4و5 من الصفحة الالمانية

إذا , مثلاً , نقطع التوروس بإسطوانة عمودية و تحتوي على ال Axisالعمودي و النقطة (O) فأي نقطة (P) , في تقاطع السطوح , تكون تلقائياً من ضمن دائرتين: (1) الشرية العمودية للتوروس من خلال (P), كما شرحنا قبل قليل , و ذلك يعطينا العلاقة(OQ:OP =OP :OA) ؛ و (2) الشريحة العمودية للإسطونة من خلال(P) . ففي الظل العمودي لتك الشريحة على السطح الافقي , فإن (P) ترمي ظلها على النقطة المذكورة (Q).

شكل6 من الصفحة الالمانية

في موقعها على الدائرة الظلية (الافقية) , (Q) تكون سلسلة من العلاقات المتناسقة من نوع (OR:OP =OP :OA), حيث أن (OD) يكون القطر للإسطوانة و الدائرة الظلية, (R) تكون الظل الجنبي ل(Q) على القطر (OD).حتى الآن فإن طول (OD) من المتغيرات؛ فإننا نقدر ان نختار اي قيمة نغرب. آركيتاس سختارها لتساوي (OA) حيث ان فغي هذه الحالة  الدائرة مسقط الظل تساوي الدائرة الاولية. لكن مبدياً هناك خيارات اخرى ممكنة.

على اية حال , فإن لدينا مجال لادخال مرة اخرى مبدأ ثالث. تذكر ان هدفنا الحالي هو ايجاد حدث بالإضافة الى علاقات غير متغيرة مثل (OQ:OP =OP :OA) علاقة ثانية (OB: OQ=OQ:OP) او (1: OQ=OQ:OP) لان (OB)=1. قارن ذلك بالعلاقة التي كوناها للتو بإستخدام الاسطوانة (). قليلاً من التفكير سوف يرينا ان العلاقات الاخيرة هي مساوية الى (1:OQ=OQ : (ORxOA)) . إذاً للحصول على العلاقة التي نبحث عنها, و هي            (1: OQ=OQ:OP) كل ما نحتاج عمله, هو تكوين حدث من حيث ان (ORxOA)=OP . نعرف ان (OA) لديه الطول 2 , و لذلك يجعلنا نقول ان (OR) من المفروض ان يكون 2/1 (OP ). كيف تكون علاقة (OP ) مع (OR) ؟ بسيط جداً, كما هو واضح : (R) هو الظل المباشر القائم الزاوية على ال Axis (OA) , يعني , السطح العمودي خلال (P) و مرسوم كقائم على ال Axis(OA )  يقاطع ذلك ال Axis .اذا اخذنا ذلك لوحده و تركنا التحديدات ل( P) , فإن الشرط لان يكون (OR) يساوي 2/1 (OP ) , اذا قلنا ذلك , فإن ذلك يساوي قول , ان (P) تقع على مخروط معين و ليه ال(apex) في النقطة (O) و ال Axis (OA) . المخروط المطلوب ممكن تكوينه ببساطة ؛ هذاه هي نقطة البداية التي يصورها اويديموس .

شكل7 من الصفحة الالمانية

 على هذا الطريق  -- طريق موعر قليلاً --  نصل الى تكوينة آركيتاس . هذا المرة لا لتأكيدها و لكن لتكوينها بأفسنا.