أول عمل باللغة العربية للبرنامج الدراسي الذي اقترحه ليندون لاروش لتدريب الشباب
_________________________________________________________________________________________________________________________________
أدر ومدد هذا هو الفعل الذي يجب أن نقوم به فعله إذا أردنا أن نضاعف المربع. لكن ماذا يحصل في الحقيقة عندما نضاعف المربع، اعني هندسياً، وماذا يعني ذلك لمضاعفة المكعب. فلننظر أولاً للعمل الذي يقوم به ضلع المربع بشكل ميكانيكي:
ما فعلناه هو أننا مددنا جهة من المربع في اتجاه معين بعملية تمديد فأضفنا (dx1) ثم طبقنا الفعل على نفسه في الاتجاه الآخر فأضفنا (dx2). لكن هذا العمل ليس دقيق و لا يعطينا أية فكرة عن المبدأ الذي يحكم العملية و لا كيف سنطبق ذلك المبدأ على المكعب حتى نضاعفه. ما اعنيه هو أنه بإمكان أي شخص أن يرسم مربعا مساحته 2 ولكن السؤال يأتي من بعد ما هو ضلع ذلك المربع؟ ويكون الجواب: الجذر التربيعي لاثنين (2). ثم يأتي السؤال ما هو الجذر التربيعي لاثنين (2)؟ من أين أتى؟ ما نريده هو أن ننتقل من مساحة حجمها 1 إلى مساحة حجمها 2.
هل ثمة شيء اسمه الوسط الهندسي الذي ينقلنا من 1 إلى 2 أو من 1 إلى 3 أو من 1 إلى أي رقم (ر)؟
لننظر إلى الشكل 2. لدينا المربع (أ,ح,ب,م) ومساحته 1 الذي يتضاعف إلى المربع (أ,ب,ك,ع) ومساحته 2 بواسطة الوسط الهندسي المتمثل في الخط (أ,ب) الذي يساوي الجذر التربيعي لاثنين 2. لكن ذلك يظهر عبر عملية استدارة وتمديد للخط (ب,م). الشكل 2 يوضح تلك العملية :
شكل 2 و3 هنا
لننظر إلى (ب,ح) في المثلث ب,أ,ع. ب,ح يساوي ب,م =1. ب ع = 2. للانتقال من 1 إلى 2، أي من ب,ح إلى ب,ع يجب ان نمر عبر (ب,أ) و الذي يساوي جذر التربيع لاثنين 2. و ذلك ممكن اثباته عبر نظرية فيثاغوراس: أ ^2+ب^2 = س ^2 و ذلك يعني 1^2+1^2= 2= س^2 , س=الجذر التربيعي لاثنين 2.
وإذا كررنا عملية مضاعفة المربع يظهر لنا شكل كالتالي:
نظرية طاليس:
(هنا شكل لمثلث طاليس)
ط,ف : ط,ي =ط,ل :ط,ك = ط,م : ط,د أو هناك علاقات ثانية , م,د : د,ط = د,ك : ك,ي = ف,ي : ي,ط
فلننظر إلى نظرية طاليس و نطبقها على المثلث (ب,ع,أ) لأننا نريد وسطا بين شيئين 1و2. فإذا نظرنا إلى الخط الذي عليه يتواجد الطول 1 و 2 فهو ع,ب وما بينهما ح.
إذن الطول ح,ب = 1 و الطول ع,ب = 2. إذا أردنا الانتقال من ح,ب إلى ع,ب فإننا بحاجة إلى أن نخرج من الخط إلى السطح. وهذا هو الوسط في المربع بين مربع 1 و مربع 2. والشكل أدناه يظهر الانتقال من واحد إلى ثلاثة. يجب على القارئ أن يتسلى بهذه الأشياء و يتعرف بنفسه على تلك العلاقات الموجودة. إذن الخروج من الخط الى السطح, و إذا اردنا أن نضاعف المكعب يجب أن نخرج من السطح إلى الفضاء وهنا نحتاج إلى اكثر من وسط.
هنا مثلاً نفترض أن الطول (ع,ب) = 3 و (ب,ح) = 1، حتى نذهب من واحد إلى ثلاثة يجب أن نمر بالخط (أ,ب) = الجذر التربيع لثلاثة 3. وبهذه الطريقة نستطيع أن نخلق أي وسط بين أي رقمي. وهذا سوف يكون لنا عوناً في المعركة مع المكعب.
ما سنفعله الآن هو الخوض في ترجمة مذكرة لأحد مساعدي لاروش، هو الدكتور جوناثان تينينباوم حول مسألة مضاعفة المكعب.
