"En cuanto a mí, aprecio las matemáticas solamente porque encuentro allí los
rastros del arte de la invención en general, y me parece a mí que he
descubierto, en el extremo, que Descartes mismo todavía no penetró en el
misterio de esta gran ciencia. Recuerdo que él indicó una vez, eso que la
excelencia de su método, que lo que aparece solamente probable en términos
de su física, se prueba en su geometría. Pero debo decir, eso que es
precisamente en la geometría de Descartes que reconocí la imperfección del
principio de su método... Sostengo que hay un método enteramente diferente
de análisis geométrico, que el de Vieta y de Descartes (es decir, álgebra),
que no fueron lejos bastante, porque los problemas más importantes no
dependen en todos de las ecuaciones, a las cuales Descartes reduce su
geometría."
(Leibniz, Carta a la princesa Elizabeth, a fines de 1678)
Por ejemplo: ¡la catenaria, que requiere sustancia física para su
generación, no podría existir en el mundo de Descartes, de Lagrange y de
Euler!.
¡Una mirada a presentaciones recientes, estándares, de la construcción
famosa de Arquitas para doblar el cubo, demuestra cuanto han caído las
matemáticas modernas debajo del nivel de pensar que prevalecieron en los
círculos de Platón hace 2300 años! Típica es una discusión de doblar del
cubo, en un webpage de autores J.J. O`Connor y E.F. Robertson (nota al pie
de la página 1). Aunque el texto incluye algunas citas y referencias
interesantes, cuando los autores toman la construcción real de Arquitas,
retornan desvergonzadamente a la rutina del colegial de "usar geometría de
coordenadas para comprobar que Arquitas está correcto". Imponiendo un
sistema de coordenadas cartesiano, transcriben ecuaciones algebraicas en x,
y, z para cada uno de las tres superficies que se intersecan (cono, cilindro
y toro), y combinan las ecuaciones para demostrar que las proporcionalidades
deseadas "vienen de alguna manera fuera de...". ¡Magia! Quienes se someten a este ejercicio formal, no sólo que habrán aprendido
menos que nada sobre el descubrimiento real de Arquitas; peor aún, los
procesos cognoscitivos de mentes "habrán sido apagados" en conjunto. La estupidizante sofisticación del enfoque sintético-geométrico de Arquitas,
cuando está vista en términos del recuento común de las matemáticas de
Grecia antigua, es suficiente para demostrar, que esos recuentos comunes son
gruesamente inadecuados, y que los conceptos físicos reales subyacentes a su
trabajo han sido suprimidos. De hecho, la mayoría de los documentos
originales cruciales de la ciencia griega se han perdido o se han destruido,
mientras que la continuidad viva de la ciencia griega fue interrumpida con
la "edad oscura" impuesta bajo el Imperio Romano. Como resultado incluido
de ese proceso, la versión sobreviviente de los famosos "Elementos" de
Euclides -- un compendio cuyo modo axiomático- deductivo de presentación
oscurece las ideas esenciales y el proceso histórico del desarrollo de la
ciencia griega -- se convirtió posteriormente, o fue hecha en, la fuente
casi exclusiva para la geometría griega clásica, así como el modelo para la
educación elemental de las matemáticas por muchos siglos. Entre otras
cosas, los "Elementos" de Euclides trastocaron el ordenamiento natural del
desarrollo, incluso en geometría visual, por comenzar con geometría plana y
los conceptos supuestamente auto- evidentes del "punto" y de la "línea
recta" como entidades irreducibles, procediendo solamente en los capítulos
finales a las construcciones de la así llamada geometría sólida. Mientras
que, la primera y más "elemental" geometría visual no es la geometría plana
"plana" en sí, sino la geometría esférica -- la forma de geometría asociada
a la astronomía como más vieja ciencia del hombre.
Esta y circunstancias relacionadas, explican porqué los pensadores
científicos más grandes, del Renacimiento hasta Kepler y Leibniz, dirigieron
mucho de sus esfuerzos a reconstituir el método y la "alma" reales de las
matemáticas griegas clásicas, que se podrían en el mejor de los casos leer
solamente "entre las líneas" de Euclides y de algunos otros, sobre todo
textos fragmentarios sobrevivientes, y para los sobrevivientes Diálogos del
Platón eran la fuente individual más importante.
Crucial a este proceso, eran el reavivamiento del Renacimiento del principio
isoperimétrico, de la geometría circular y esférica, y la significación de
los cinco sólidos regulares. Ejemplar, en un respecto, fue la forma en que
la "Divina Proportione" de Pacioli y de Leonardo Da Vinci, en efecto "dio
vuelta a Euclides en su cabeza" acentuando la primacía del famoso
Décimotercer Libro de (los Elementos de) Euclides. Kepler llevó más allá la
polémica, desarrollando una primera aproximación a una geometría física
verdadera del punto de vista de la evidencia crucial de los sólidos
regulares. Esto condujo directamente a la reelaboración de Fermat, del
Pascal y de Leibniz de los temas tales como el tratado de Apollonius sobre
las secciones cónicas, en el contexto de enfocar cada vez mas en el concepto
de las multiplicidades múltiplemente conectadas de orden superior, que
evidentemente subyacen en el centro de la discusión entre los colaboradores
científicos de Platón. Así, hay una línea directa desde Arquitas de
Apollonius, hasta el trabajo del Gauss y de Riemann.
De este punto de vista propongo, para ésos impacientes en excavar en la
materia en un cierto detalle, las observaciones siguientes respecto a la
construcción de Arquitas para doblar del cubo. Aunque mis observaciones son
algo técnicas, y no tienen como objetivo una representación completa de su
descubrimiento, deben ayudarnos a ponernos en una pista fructífera,
reparando algo del daño causado por malas representaciones modernas.

MEDIAS PROPORCIÓNALES Y EL DOBLADO DEL CUBO

Arquitas, siguiendo el descubrimiento de Hipócrates de Quios, enfrentó el
problema del doblado del circulo resolviendo el problema general del
construir dos “medias proporciónales” entre las longitudes dadas “a” y “b”. En síntesis: por “dos medias proporciónales” entendemos dos magnitudes “x” e
“y” entre las magnitudes dadas “a” y “b” (asumimos que “a” es mayor que
“b”) tal que b:x=x:y=y:a. Doblar el cubo corresponde al caso especial donde
a=2 y b=1. La primera de las dos medias proporciónales, “x”, corresponde al
lado de un cubo habiendo doblado el área del cubo unitario. La segunda media
proporcional corresponde al área de lado del cubo duplicado. Para ver de donde viene la media doble, imagina un cubo unitario que es
transformado en el cubo duplicado, por el siguiente proceso. Primero, “jala”
el cubo a lo largo de su ancho (digamos, horizontalmente) sin cambiar su
profundidad y su altura, de tal forma que su ancho sea igual a “x” (la
longitud del lado del cubo duplicado. Esta operación incrementa el volumen
por un factor de “x”, en relación al anterior volumen unitario. Luego,
“jala” el sólido por el mismo factor de “x” a lo largo de su profundidad,
manteniendo el ancho igual a “x” y la altura aùn igual a 1. Finalmente,
“jala” el sólido por el mismo factor de “x” a lo largo de su altura,
manteniendo el ancho y la profundidad igual a “x” . El resultado final es un
cubo de lado de longitud “x”; es decir, el cubo de volumen doble. Desde que cada una de estas tres transformaciones incrementan el volumen por
el mismo factor, la proporción de cada volumen respecto a su precedesor será
el mismo (precisamente, “x”). Siendo que el volumen inicial era 1, y el
volumen final 2, los volúmenes intermedios N y M constituyen una serie de
medias proporciónales 1:N=N:M=M:2. Siendo que cada una de las operaciones de
“jalar” precisamente describen incrementos del volumen por un factor de
“x”, entonces, N= “X” veces 1, osea “x”; y M=x veces N, osea, x2. Así, la
proporción resultante es 1:x=x: x2= x2:2. En particular, la longitud “x” del
lado del cubo duplicado es la primera de las dos medias proporciónales entre
1 y 2.

LA GEOMETRÍA DE LOS ACONTECIMIENTOS FISICOS.

Noten que derivando las dos medias proporciónales por medio de una
intersección de un toro, el cono y el cilindro Arquitas sitúa el problema
explícitamente en el dominio de la acción circular múltiplemente
-conectado, "polifónica". Observe el énfasis sobre la acción verbal,
reflejado en la cuenta clásica de la construcción de Arquitas, por el
geómetra Eudemus:
"Sean las dos líneas dadas ser OA [ = a ] y b; se requiere para construir
dos medias proporcionales entre a y b. Dibuje el círculo OBA que tiene OA
como diámetro donde OA es el mayor [ de los dos ]; e inscriba OB [ como una
cuerda en el círculo ] de longitud b, y la prolonga para cortar en C la
tangente al círculo en A.... Imagine un medio-cilindro que se levante
perpendicular en el semicírculo OBA, y que en OA se levanta un semicírculo
perpendicular que está parado en la base] del medio-cilindro. Cuando este
semicírculo se mueve desde A a B, la extremidad O del diámetro permanece
fijo, cortará la superficie cilíndrica al hacer su movimiento y trazará en
él cierta curva en negrilla. [este movimiento genera una sección de un toro
-- JT. ] Entonces, si OA permanece fijo, y si el triángulo OCA gira sobre
el OA con un movimiento opuesto al del semicírculo, produce una superficie
cónica por medio de la línea OC, la cual, en el curso de su movimiento,
cortara la curva dibujada en el cilindro en un punto particular P...." ¡Qué contraste entre el indicado concepto polifónico de la geometría, y la
"teoría de conjuntos" de hoy, aletargadora de la mente! En la construcción
de Arquitas, P se levanta no como una intersección de “conjuntos de puntos”
estáticos, sino como el lugar geométrico de un acontecimiento físico, cuyo
proceso de generación implica tres (o realmente, seis) grados simultáneos de
acción. Arquitas diseña el proceso de tal manera, de que el acontecimiento,
así generado, poseerá exactamente las relaciones "proyectivas" requeridas.
En detalle, las "dos medias proporcionales requeridos" son OQ y OP., donde
Q es la proyección del punto P, construido como se menciono arriba, sobre el
plano del círculo original OBA.
Pero, antes de procurar derivar la construcción de Arquitas por nosotros
mismos, miremos el caso más simple de la relación entre la media geométrica
y la acción circular.

PROPORCIONES ARMONICAS Y ACCION CIRCULAR.

La rotación circular proporciona el caso más simple y característico para la
generación de las proporciones armónicas entre las que son magnitudes
ostensiblemente escalares (segmentos de línea, por ejemplo), como resultado
"proyectado" de la acción de orden superior.
Construya un círculo con un diámetro dado OA. Un punto P, moviéndose a lo
largo del círculo entre O y A, da lugar a un arsenal de proporciones
armónicas invariantes, de la manera siguiente. (Figura 1) Conectando P con los puntos finales del diámetro, O y A, produce un
triángulo OPA, que forma cambia con la posición de P, pero cuyo ángulo en P
es siempre un ángulo recto. Ahora proyecte P perpendicularmente a la línea
OA, llamando el punto de la proyección "Q". Evidentemente, el triángulo OPQ
es también un triángulo rectángulo (ángulo recto en Q), y comparte un ángulo
común en O con el triángulo rectángulo original OPA. Los dos triángulos
son así constantemente similares, a través del movimiento de P, y los
cocientes correspondientes de los lados serán iguales. En detalle, OQ:OP =
OP:OA.
Esto es igual a decir, que la longitud de OP. es la media geométrica entre
OQ y el OA. Invirtiendo el orden de la construcción, podemos generar la
media geométrica de cualquier dos longitudes dadas OQ y OA, usando el
círculo. Precisamente extendiendo una perpendicular de Q sobre la
circunferencia del círculo, para obtener el punto P.
La media geométrica también era conocida en la época griega antigua como "la
media simple entre dos extremos". Doblar un cuadrado, requiere construir
la media simple (geométrica) entre 1 y 2. Para doblar un cubo, sin embargo,
necesitamos dos medias entre 1 y 2, o en otras palabras a las series de
proporciones simultáneas de la forma: OB:OQ = OQ:OP = OP:OA donde OB y el
OA tienen longitudes 1 y 2, respectivamente.
1:OQ = OQ:OP = OP:2
Reflexionando sobre esto, la siguiente estrategia se sugiere a sí misma: "Introduzca un segundo grado de rotación, generando "la otra mitad" de la
proporción doble, a saber:
OB:OQ = OQ:OP
O mejor: 1:OQ = OQ:OP; es decir, OQ es la media geométrica entre 1 y OP. "Todo lo que necesitamos hacer es combinar de alguna manera las dos acciones
circulares, con el objeto de generar un acontecimiento, en el cual se
observan ambas condiciones simultáneamente; esto nos dará la requerida
doble media: OB:OQ = OQ:OP (1:OQ = OQ:OP ) y al mismo tiempo OQ:OP = OP:OA
(OQ:OP = OP:2)."
Realizar esta estrategia conduce a la construcción para la doble media,
aunque uno se expone a ciertas críticas. Lo presento brevemente, porque
señala ya en la dirección de la acción múltiplemente-conectada.

UN IMPULSO PRELIMINAR

Para conseguir la proporción OB:OQ = OQ:OP, (1:OQ = OQ:OP) de la manera
indicada, necesitamos construir un segundo círculo de diámetro OP, que
cumplan los siguientes requerimientos:
(i) el punto Q (proyección de P en el diámetro del primer círculo) también
perteneciente al segundo círculo, y
(ii) Q se proyecta a un punto B, en el diámetro OP del segundo círculo, tal
que la longitud OB tiene la longitud requerida 1. Un poco geometría,
demuestra que el requisito (i) está ya satisfecho para todas las posiciones
de P en el primer círculo; el requisito (ii), sin embargo, se satisface
solamente para una posición de P (y de su imagen simétrica). ¿Cómo puede
ser que generemos ese lugar geométrico como un acontecimiento construible? ¡Simple, en principio! Imagínese, que para cada posición de P, como P se
mueve a lo largo del primer círculo, un círculo correspondiente se construye
alrededor de OP como diámetro. Este proceso produce una familia continua
de los círculos, cuyos diámetros OP. están cambiando sus ángulos y longitud
de lado mientras P se mueve (la nota al pie de la página 2). Para cada
circulo así , generado el correspondiente punto Q y B, como se indicó en (i)
y en (ii), mas arriba. Como P atraviesa la circunferencia del primer
circulo, el movimiento del punto B atraviesa una cierta curva en el interior
del circulo. Ahora marquen (por fuera) un tercer circulo, de radio 1
alrededor del punto O. Es fácil de ver que la curva trazada por B
intersectará el tercer circulo en algún punto. En ese punto, OB=1, se
completan los requerimientos (i) y (ii) , y para las correspondientes
posiciones P y Q , que proporción deseada, 1:OQ=OQ:OP se cumplirá. Tomada
junta a la proporción OQ:OP =OP:2, determina que OQ y OP son las dos medias
proporciónales entre 1 y 2. ¡El problema está resuelto¡
Ahora alguien puede objetar, con una cierta justificación, que no se
presentó ningún método real, de cómo realmente trazar la curva definida como
el lugar geométrico de los puntos B'. No es obviamente suficiente exigir
simplemente: "marque, en cada de la familia infinita de círculos, un punto
correspondiente B '". Porque, si comenzáramos a marcar los círculos y los
puntos uno a la vez, nunca tendríamos algo más que un conjunto discreto, y
nunca llegaríamos una curva continua (nota al pie de la página 3). Por otra parte, es posible, con un poco de ingenio, diseñar un mecanismo
físico relativamente simple que trace la curva requerida como producto del
movimiento de P a lo largo de la circunferencia del círculo original. El
método que resulta está relacionado con la táctica de Nicomedes, que utilizó
una curva mecánicamente -generada llamada conchoide, para doblar un cubo.

¡DE NUEVO A ARQUITAS!

Desde este punto de vista podemos ahora apreciar mejor la brecha singular de
Arquitas, que fue mucho más allá de los antedichos métodos ad oct del para
descubrir un acercamiento de orden superior al problema que anticipa la
fundamentación de 1799 de Gauss del dominio complejo, por cerca de un
milenio!
Partiendo del circulo original de diámetro OA, Arquitas aplica un nuevo
grado de rotación, para generar a toro. Por tanto, Arquitas nos lleva, por
implicación, en un universo enteramente nuevo. En vez de intentar construir
la solución "del abajo para arriba", como hicimos antes, podemos ahora
proceder más "de arriba para abajo".
El toro en cuestión, es obtenido rotando el círculo original (de diámetro
OA=2) primero en el plano vertical (con O fijado) y después rotando el
círculo que resulta alrededor del eje vertical a través de O. Por cualquier
punto P en el toro, la sección transversal vertical con el eje del toro, es
un círculo del diámetro OA (de la longitud 2); si Q denota la proyección de
P sobre el diámetro horizontal de ese círculo, la proporción OQ:OP = OP:2
mantendrá -- ahora como relación invariante para superficie entera del toro.
(Figura 3)
Note que Q descansa el plano horizontal del circulo original, que coincide
con la proyección vertical de P sobre un plano.
Es fácil ahora introducir los grados adicionales de acción circular,
generando relaciones armónicas adicionales. Una forma, que Arquitas escogió
para su solución, es cortar el toro con el cilindro vertical cuya base es el
círculo original de diámetro OA (de longitud 2). Cualquier punto P de la
intersección del toro y el cilindro, automáticamente pertenece a los dos
círculos:
(i) la sección cruzada vertical del toro con P, la cual, según lo descrito
ya, da lugar a la relación OQ:OP = OP:O2, y
(ii) (ii) la sección cruzada vertical del cilindro a través de P. (Figura 4)
Si proyectamos la sección cruzada vertical del cilindro sobre el plano
horizontal original, entonces P se proyecta al punto ya-mencionado Q. Y la
sección cilíndrica se proyecta en un circulo en el plano , con Q en su
circunferencia.
Q genera entonces un segundo conjunto de relaciones armónicas, de la forma:
OR:OQ=OQ:2, donde R es la proyección de Q sobre OA.
Recuerda, estamos tratando de crear un acontecimiento para el cual la
relación
1:OQ=OQ:OP
se cumpla. ¿Puede esto ser posible generando un tercer grado de acción, para
unir OR con OP en tal forma que la ultima relación pueda fluir
automáticamente de la primera?.
Note, primero, que OR:OQ=OQ:2, es equivalente a la relación inversa,
2:OQ=OQ:OR ¿Qué nos puede decir esto sobre la proporción 1:OQ?.
Evidentemente, el factor de proporciónalidad necesaria para transformar la
longitud unitaria 1 a la longitud OQ, es dos veces mas larga como el factor
de transformación 2 en (into) OQ. Aplicando este factor duplicado a OQ,
nosotros debemos culminar (end up) con 2XOR antes que con OR. así, de 2:OQ=OQ:OR
Sigue:
1:OQ= OQ:(2XOR)
Para conseguir la proporción deseada 1:OQ=OQ:OP , necesitaríamos que OP
sea igual a 2XOR. ¿Qué tipo de acontecimiento podría generar tal relación,
además de los otros?.
Considerando la relación mutua de OP y OR en nuestra construcción, hasta
este punto. Muy simplemente, como uno puede ver: R es tanto la proyección
de Q sobre OA y, la proyección perpendicular directa sobre de P sobre el eje
OA; es decir, el punto en el cual el plano vertical que pasa por el punto P
traza una perpendicular al eje OA, intersecta tal eje.
Tomado por sí mismo (dejando a un lado las otras restricciones de P), el
requisito que OP sea igual a 2 veces OR., es equivalente a decir, que P
descansa sobre un cono determinado con el ápice en O y el eje OA. Figura
6) El cono requerido puede ser construido fácilmente; éste, es de hecho el
paso preliminar que Eudemus describe.
El acontecimiento requerido, por tanto, es la triple intersección del toro,
cilindro y el cono. (Figura 7).
Por este camino llegamos la construcción de Arquitas. Esta hora de no
verificarla, sino de generarla de nosotros mismos.

1. Vea www.history.mcs.standrews.ac.uk/history/HistTopics/Doubling_the_cube
[ Trate también en:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Doubling_the_cube.html
l ]
2. Los lectores alertas observarán aquí los rastros de acción cónica, que
llega a ser más explícito en Arquitas, y finalmente emergen en claridad
completa en el dominio complejo de Gauss.
3. Por razones relacionadas, las matemáticas como son concebidas
generalmente no pueden representar continuidad verdadera, sino en el mejor
de los casos describen ciertos resultados de la acción continua.
Solamente la dirección del desarrollo de las matemáticas, dispuesto por
Leibniz en su concepción original del cálculo, y continuado por Riemann,
proporciona un camino del desarrollo de las matemáticas en la dirección
siempre más adecuadamente de representar la realidad de la acción continua
en el universo. El caso de la catenaria es ejemplar.

Nota: las graficas la pueden bajar de:
www.wlym.com
O buscando con "antidummies"
Traducción de MHT