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Riemann para Anti-Dummies Parte 45

LA HECHURA DE UNA LINEA RECTA

“Las líneas rectas no se definen; se construyen”.
 Por Bruce Director                                         Traducido por Manuel Hidalgo

La frase de arriba puede parecer chocante a alguien acostumbrado a una dieta constante del dogma neo -aristotélico de sus profesores de primaria, secundaria y universitarios, pero es el punto de vista adoptado por C. F. Gauss por la época en que tenía 15 años. En julio de 1797, a la edad de 20 años, Gauss escribió en su cuaderno, “plani possibilitatem demonstravi” (la posibilidad del plano demostrado). Posteriormente, elaboró esta idea en una carta de enero de 1829 a Bessel, donde habla de su convicción, “por casi 40 años”, que “era imposible establecer los fundamentos de la geometría a priori”. Gauss dio como ejemplo la definición euclidiana de un plano, como “superficie que yace uniformemente con la línea recta en sí misma”. (Euclides I, definición 7). “Esta definición”, escribió Gauss, “contiene mas de lo necesario para determinar la superficie, e incluye tácitamente un teorema que primero debe demostrarse”.

Un individuo sometido al condicionamiento aversivo de la educación de sociedad de la información actual, podría pensar que Gauss está ofreciendo una sutileza esotérica, de interés sólo para la curiosidad arcana de ciertos especialistas. De hecho, el aspecto epistemológico que Gauss está abordando es exactamente aquel que es la causa de mucha de la psicosis de masas actual, de cuyo tratamiento exitoso el futuro de la civilización depende.

Para tratar el punto, considera la siguiente ilustración, junto con la concomitante definición de Euclides de una línea como “longitud sin ancho” (Euclides I, definición 2), y una “línea recta”, como “una línea que yace uniformemente con los puntos en sí misma” (Euclides I, definición 4). Imagina un octaedro, o algún otro sólido, y piensa en la línea que conecta dos de sus vértices. Bajo la definición de Euclides, esta línea será recta, pues se extiende uniformemente con los vértices, y la cara del sólido será un plano porque se extiende uniformemente con las líneas que forman sus aristas. Pero, desde el punto de vista de la construcción, el sólido es generado a partir de una esfera. Estos mismos vértices también descansan (se extienden) con arcos de círculos máximos a lo largo de la superficie de la esfera, con lo cual ellos mismos se extienden por la superficie esférica (Figura 1). ¿Cómo puede uno distinguir cual de las dos superficies, la esférica o la planar, y que conjunto de líneas, circulares o lineares, son las “rectas”, según la definición de Euclides?


Octaedro Inscrito

La definición de Euclides se aplica igualmente a ambos tipos de línea y superficies, tanto como a un infinito número de otras posibles superficies y líneas que se pueden concebir que se extienden a lo largo de los vértices de un sólido. Una definición sola es insuficiente para distinguir entre una de otra porque, como dijo Gauss, la definición asume una teorema concerniente a las características físicas de la superficie y las líneas contenidas en ella. Tal característica debe demostrarse o, medirse, en el dominio de la acción física , por lo cual Riemann llamó a estas características “curvatura”.

La dificultad que tienen las victimas de la educación de información actual en comprender el punto de Gauss, es que se han acostumbrado a pensar en “recto” y “plano” en una cierta forma predefinida, la cual, en la menta de la víctima, lleva la autoridad de “ley romana”. En tanto que este “imperio de la ley” toma influencia sobre la mente de la víctima, la persona afectada se rebajará a pensar que el universo físico podrá desobedecer esta definida ley de la rectitud. Pero, cual sea la autoridad con la cual este imperio de la ley es pronunciada, el universo decide que es recto como una cuestión de principio. Esto produce una crisis psicológica que se intensifica en tanto la víctima se inclina ante el dictado arbitrario de la rectitud por definición.

Un bebé y un ebrio ambos caminan en una trayectoria torcida. El bebé porque está intentando descubrir los principios múltiplemente -conectados de la física, de la biología, y de la cognición que determinan su trayectoria prevista. El ebrio porque su estado dañado evita que reconozca los principios que antes conoció, y él responde a cualquier definición de rectitud sus embriagados impulsos evocándolos. La frustración del bebé, cuando él fracasa, en alcanzar el límite de cada hipótesis temporal, se transforma en alegría, cuando el descubrimiento del principio que falta aumenta su poder de obrar de esta manera. La tambaleante frustración del borracho, del oligarca, del lacayo, o de la víctima del lavado cerebral straussiano, ansiosa en rabia bipolar en su pérdida de control, gritando, como Ozymandias de Shelley, “Mirad mis obras vosotros, poderosos y desesperados”.

Mientras las energías mentales de uno son deterioradas por las definiciones arbitrarias cuya única fuerza es la autoridad arbitraria con la cual se pronuncian, uno permanece en un estupor, o intoxicado con el poder de manejar tal autoridad, o, la depresión creada al someterse a ella. Para librar a la víctima y restaurar sus poderes inherentemente humanos que experimentaron alguna vez, el bálsamo sosegante de la ciencia y el arte clásico debe aplicarse. De allí, la importancia de los ejercicios pedagógicos.

La determinación de la curvatura

Aunque el juvenil enfoque de Gauss estaba en disputa con las autoridades contemporáneas como Leonard Euler y su protegido Enmanuel Kant, quienes insistían en que los principios de la geometría sólo podrían ser dados por definiciones a priori, sus raices eran muy antiguas. La “axiomatización” de Euclides de la geometría estaba en sí misma en disputa con el propio proceso por el cual los principios contenidos en ella fueron descubiertos. Como la solución de Arquitas y Menecmo para el problema de doblar el cubo, y, mas genéricamente, como la construcción y el carácter único de los cinco sólidos platónicos de la acción esférica indican, las relaciones de la geometría rectilínea se derivan de la acción física no rectilínea. Las investigaciones sobre este tipo de acción física fueron posteriormente ejemplificadas por las obras de Apolonio, Arquímedes y Eratóstenes, tanto como por la demostración de los pitagóricos que las relaciones entre tonos musicales son generados por un principio superior al de las divisiones lineares de una cuerda.

Este fue el enfoque “anti – euclidiano” que fue adoptado por Cusa, Kepler, Fermat y Leibniz, quienes reemplazaron la sofistería de una definición arbitraria de línea recta, con la idea de una trayectoria de acción mínima, o lo que fue después conocida como una “geodésica”. La geodésica es la línea más recta y mas corta, cuya naturaleza está determinada por las propiedades físicas de la superficie, o, desde el punto de vista mas general de Riemann, la “multiplicidad n- dimensional” o espacio – fase, en el cuál ocurre.

Por ejemplo, la órbita planetaria de Kepler es la trayectoria de mínima acción creada por los principios armónicos del sistema solar, el cuál “define” las órbitas elípticas como sus “líneas rectas”. Similarmente los principios de reflexión de la luz “definen” el menor tiempo como lo recto. La introducción del principio de la velocidad cambiante de la luz bajo refracción , “re- define” la línea recta, desde la trayectoria de distancia mínima a la trayectoria de tiempo mínimo. O, por el contrario, el cambio en lo que es recto indica la presencia de un nuevo principio.

En cada caso, la definición de una línea recta no es dada por una autoridad arbitraria, sino por un conjunto de principios físicos medibles. La pregunta para la ciencia, la política, la economía, y la historia es cómo determinar tales principios físicos gobernantes, desde que cantidad hasta las partes pequeñas de las líneas “rectas” determinados por ellos. Esto exige ser capaz de descubrir los principios desde la “curvatura” de la línea, y descubrir nuevos principios midiendo cambios en esa curvatura característica.

Ejemplar es la determinación de Leibniz y Bernouilli de la curvatura de una cadena colgante. A diferencia de Galileo, tanto Leibniz como Bernouilli reconocieron que la curvatura de la cadena estaba determinada por un principio físico. Este principio no existe en un plano vacío e infinitamente extendido del tipo euclidiano, sino que es producido en una multiplicidad física con una curvatura característica. Esta multiplicidad es limitada por extremos físicamente determinados, expresados por las relaciones del punto mas bajo de la cadena con los puntos de donde cuelga. Si los puntos de donde cuelga coinciden, no hay tensión, y la cadena no tiene curvatura. Si los puntos de donde cuelga se separan, en algún punto la cadena se romperá. En estas condiciones extremas de tensión máxima y mínima no hay curvatura ni “órbita” estable para la cadena, La noción de sentido común de recto, esto es, lo que no es curvado, sólo existe fuera de la multiplicidad física en la cuál la cadena cuelga. En tal multiplicidad, la curva catenaria es la única posible línea “recta”. Así, “rectitud” para la cadena, es una curva – una curva determinada por características físicas mensurables. . En cada pequeño intervalo a lo largo de la cadena, los acoplamientos dirigen un curso que esté cambiando constantemente, pero cambiando según un principio mensurable. Como se demuestra en otras ocasiones, Leibniz y Bernouilli demostraron que esta característica cambió de acuerdo a un principio que Leibniz llamó “logarítmico”.

Un caso relevante similar es la determinación sacudidora de la órbita del asteroide Ceres, desde esa porción infinitesimal de su órbita representada por las observaciones de Piazzi. Todas las autoridades científicas autorizadas fueron obstaculizadas en sus esfuerzos pro hallar la órbita de Ceres, enredados por su insistencia en que la órbita de Ceres se estaba moviendo en una caja vacía y su órbita era una desviación de la definición de acción en línea recta que Galileo y Newton habían reimpuesto sobre la física, después de la liberación por Kepler de la ciencia de tal aristotelismo. Gauss, como estudiante de Kaestner, fué guiado por el conocimiento que Ceres estaba siguiendo la trayectoria de mínima acción en un sistema solar gobernado por los principios físicos armónicos que Kepler describió, y que tales principios armónicos indicaban una discontinuidad en la región entre Marte y Júpiter. A diferencia de sus competidores, Gauss sabía que la línea recta de Galileo y Newton no existía en la multiplicidad física en la cuál Ceres y la Tierra se estaban moviendo. Así que, mientras cada cual estaba buscando una trayectoria entre un número infinito de posibles trayectorias, en una multiplicidad inexistente , Gauss estaba buscando la trayectoria única de acción mínima que el sistema solar de Kepler produciría. Este ataque exitoso fue enfocado en determinar como estos principios se expresarían en una parte pequeña de la órbita que Piazzi había observado (Ver: “Cómo Gauss determinó la órbita de Ceres”, en Fidelo, Summer 1998)

Una distinción crucial ocurre cuando uno compara el caso de la catenaria con el caso de la órbita de Ceres. El descubrimiento del principio de la catenaria requiere la determinación de una trayectoria singular. El descubrimiento de la órbita de Ceres involucra la relación entre dos trayectorias diferentes, la de Ceres y la de la Tierra, tal cómo estas trayectorias serían vistas como proyecciones en el interior de la esfera celeste. Estas dos trayectorias, aunque diferentes, son ambas trayectorias de acción mínima, es decir, “rectas”, dentro del sistema solar de Kepler. Así, el sistema solar produce “líneas rectas” de diferentes curvaturas en diferentes partes.

Gauss encontró una situación similar en sus mediciones geodésicas, donde el midió una variación en la dirección de la fuerza de gravedad de lugar a lugar en la tierra. Cuando Gauss se movía al norte, el ángulo de inclinación de la estrella del norte se incrementaba, pero no uniformemente con la distancia recorrida a lo largo de la superficie terrestre. Pero Gauss también determinó que la dirección de la fuerza de gravedad variaba en cuanto él se movía del este al oeste o alguna otra dirección intermedia. La cuestión para Gauss era: ¿Cómo determinar la forma de la Tierra, desde estas variaciones a lo largo de las pequeñas partes de su superficie?.O, en otras palabras, ¿cómo curvatura total de la Tierra, y sus variaciones locales, se refleja en cada pequeña parte de su superficie, en la misma forma que el principio físico de la catenaria es reflejado en cada pequeña parte de la cadena?

La hechura de la curvatura

Estos tipos de consideración dieron lugar a la teoría de las superficies curvas de Gauss. Como se ilustra en “Sobre los principios y los poderes” ({Fidelio}, Summer 2003), Gauss midió la curvatura “total” o “integral” de una superficie mapeando los cambios en la dirección de las normales en un esfera auxiliar (ver inserción). Siguiendo la dirección del cálculo infinitesimal de Leibniz, Gauss mostró como esta curvatura total estaba relacionada a la curvatura en en cada elemento infinitesimal de superficie. “La comparación de las áreas de dos partes correspondientes de la superficie curvada y de la esfera lleva ahora (de la misma manera como, por ejemplo, de la comparación entre volumen y masa brotó la idea de densidad) a una nueva idea. El autor designa como “medida de curvatura” en un punto de la superficie curvada el valor de la fracción cuyo denominador es el área de la parte infinitamente pequeña de la superficie curvada en ese punto, y cuyo numerador es el área de la parte correspondiente de la superficie de la esfera auxiliar, o la curvatura integral de ese elemento. Es claro que, de acuerdo a la idea del autor, curvatura integral y medida de la curvatura en el caso de las superficie curvadas son análogos a lo que, en , en el caso de las líneas curvadas, son llamadas respectivamente amplitud y curvatura simplemente. El duda en aplicar a las superficie curvadas la última expresión, la cuál ha sido aceptada mas por la costumbre que en relación a la conveniencia. Mas aún, menos depende de la elección de las palabras que sobre esto, que su introducción pueda estar justificada por teoremas preñados”.

Gauss va a desarrollo los métodos por los cuales medir lo que se conoce hoy como la “curvatura gaussiana”. Si, de acuerdo a la tradición de Euler, la superficie es considerada como el borde de la un objeto sólido tri – dimensional, entonces esta curvatura puede ser medida cortando la superficie en el punto por dos planos, normal a la superficie y perpendiculares uno respecto al otro. (Figura 2). Las curvas formadas por la intersección de dichos planos con los objetos expresan las curvas de curvatura mínima y máxima en ese punto.

Para ilustrar esto, corta un huevo duro, la manzana, o algún otro sólido curvado por la mitad. Entonces corta un objeto semejantemente formado por la mitad a un ángulo de 90 grados del primer corte. Compara las curvas formadas por estos cortes. Corta otro objeto semejantemente formado a otro ángulo. Compare la curvatura de los tres tipos de curvas.

Este método es totalmente inútil para un problema físico real tal como medir la superficie de la Tierra, porque es obviamente imposible hacer cortes ortogonales en la Tierra en cada punto y medir la curvatura de las curvas resultantes. Para resolver tal problema, Gauss concibió una superficie curvada como un objeto bi- dimensional. Pensada de esta manera, la curvatura podría ser determinada midiendo la conducta de la línea “mas corta”, es decir, la geodésica, que emana de cada punto. Por ejemplo, la superficie de una esfera puede ser enteramente determinada por un sistema de dos conjuntos de círculos ortogonales, semejantes a las “líneas” de longitud y latitud, siendo las primeras “geodésicas”, mientras que las segunda, no. (Figura 3). En un esferoide, las líneas de latitud permanecen circulares, mientras que las longitudinales se convierten en elípticas (Figura 4). En un elipsoide, ambos conjuntos de curvas son elípticas (Figura 5 ). Otros ejemplos son la seudoesfera, donde un conjunto de curvas son círculos y el otro tractrices (Figura 6 ), o el catenoide, donde las curcas y círculos son catenarias (Figura 7). Para superficie mas irregulares, las curvas son irregulares, pero tal sistema ortogonal siempre se puede desarrollar (Figura 8 ).

Desde este punto de vista, la noción de sentido común de una plano “plano” euclidiano, es sólo un tipo especial de superficie , sin autoridad particular “legal” {a priori}. La noción de sentido común de línea “recta” se convierte simplemente en la “geodésica”, característica de este tipo de superficie. Gauss mostró que la conducta de las líneas mas cortas que emanan de cualquier punto de una superficie pueden ser medidos respecto a este sistema de curvas ortogonales por la extensión del método del cálculo infinitesimal de Leibniz. Y, lo mas importante para la ciencia física, la naturaleza de estas curvas ortogonales , y consecuentemente la curvatura de la superficie ,puede hacerse conocida por los cambios medidos en estas líneas geodésicas.

En la próxima entrega, profundizaremos en el método de Gauss mas directamente. Por ahora, damos una introducción intuitiva a través de las ilustraciones siguientes (Figura 9). Aquí, puedes comparar la conducta de las líneas geodésicas emanantes de un punto de diferentes superficies, a saber: esfera, esferoide, elipsoide, silla de montar y toro.



Esfera


Esferoide


Elipsoide




Silla de montar




Toro

Noten la relación entre la conducta de estas líneas y el sistema de curvas ortogonales trazadas en la superficie. Note como la forma de estas “geodésicas”dependen solo de la naturaleza de la superficie y su dirección. También, compare la conducta de estas geodésicas con la curvatura integral de estas superficies ilustradas en el antes citado artículo de Fidelio (Summer 2003).

El primer paso es desarrollar el poder de medir las características físicas de la superficie a partir de las líneas “rectas” que produce. Pero los humanos poseen un poder mayor: cambiar la curvatura del Universo por el descubrimiento y aplicación de nuevos principios físicos universales, y, así, hacer líneas “rectas”.

Traducción: Manuel Hidalgo